黑蒙此帖及为人尚有争议，现转一帖，为黑蒙所驳者，至高天使长著
纸上谈兵，heroes3兵种单挑排名
文：至高天使长
纸上谈兵，heroes3兵种单挑排名（一）：规则和理论基础
heroes3里面有9大种族，每个族有14种兵种，再加上中立兵种，可谓兵种众多，热闹非凡。兵种一多，很自然的，有一个问题产生了：哪种兵种最强？或者更进一步说，两种兵种之间怎样比较谁更强？
最简单也最直观的一个办法就是看兵种的属性。比如农民的属性attdefdghp
sp：11113，无论哪项属性都是最差，显见，农民是heroes3最弱的兵种。
但是更多的时候，我们无法直观地从兵种的属性上看出谁更强，比如很相似的两种兵种：
金龙attdefdghpsp：2727405025016
黑龙attdefdghpsp：2525405030015
黑龙血厚金龙攻防高速度快，它们之间到底谁更强呢？一句棋逢对手、不相上下不是
我们寻求的最终答案。因此，有必要建立一套评判的标准来评定兵种实力的强弱。
一个很自然的办法就是将两种兵种拉来单挑，胜者说明实力更强。但是由于heroes3里面绝大多数兵种的dg都是在一个范围内波动（天使、那加等少数兵种除外），这就使得单挑运气成分较大，一方连续几次高伤害就可能得胜，有人说多测几次看哪方胜率高不就行了，这固然是减小运气成分的一个办法，但是有时候胜率不相上下时比如上面的金龙和黑龙，它们之间的胜率非常细微，可能要测上几百次乃至上千次，非常繁琐，而且也不见得能够得出准确的结果。
更好的办法是nvsn，n是一个充分大的自然数，两方兵种各取n个分成一堆单挑，这样不仅可以有效减小运气成分，更可以杜绝“单挑王子”幽灵、桥梁怪的“作弊”行为（恢复hp特技使得它们同级兵单挑无敌，但这显然不是它们真实实力的反映）。
方法已经确定，下面就是建立规则了。
既然是兵种之间的单挑，那么
1、双方都不分堆且一切外界因素都应该尽量杜绝，比如英雄攻防指数、特技、技能、宝物、魔法、地形、士气和运气注1等等；
其次，双方都应该能选择自己的最佳策略，例如速度快的一方可以选择等待。但在数量较少的时候，由于原地防御可以增加防御力，这样原地防御一方可以占到优势（受伤害减少反击伤害不减），因此如果一方防御另一方势必也会无奈选择防御，这样子一回合就会被浪费，甚至会出现双方都一直选择防御的情况，这种消极比赛的态度是广大观众不愿见到的，因此我们规定
2、双方都可以选择自己的最佳策略，但都没有防御的权利。
这两点就是单挑应该遵守的基本原则。
在用实践得出结论之前，我们有必要先用理论来指导一下实践。我们的目的是尽可能地量化单挑两兵种之间的实力比，这无疑对实践有着积极的作用。下面我们以大天使和大恶魔这对天敌单挑为例来说明。
先来看看双方的基本属性：
天使attdefdghpsp：30305025018
恶魔attdefdghpsp：2628304020017
如果恶魔不是攻击不反击这场单挑根本没有任何悬念。但即便是恶魔攻击不反击，通过我们实际测试，天使也是完胜恶魔，不论是1vs1还是nvsn。我们的问题是天使的实力比恶魔强多少？
nvsn的结果必然是天使剩余一定数量，这说明如果恶魔数量再多一些天使依然有可能胜出，实际测试，5个天使就能赢6个恶魔——这说明天使的实力比恶魔至少强20——这也启发我们，天使能够赢的恶魔的最大数量与天使自身数量n的比值n就是双方的实力比的近似值。精确的叙述如下：
假设n个天使能赢个恶魔但是不能赢+1个恶魔（显然是存在的），这样是n的一个函数，记为fn，fn即为n个天使能赢的恶魔最大数量，同时令gn+1fn+1，gn即为n个天使不能赢的恶魔最小数量，hnfnn，则当n趋向于无穷大时hn的极限值p就是天使和恶魔的实力比（极限的存在性需要证明，见下文）。
由此得出如下结论：
、lifnn和lignn同时存在，如果存在则两者相等。这里li代表n趋向于无穷大时的极限。
如果plifnn存在，则lignnli{fn+1n}lifnn+li1np，反之亦然。
2、如果n个天使可以赢个恶魔，t个天使可以赢s个恶魔，那么n+t个天使可以赢+s个恶魔；反之结论同样成立：个恶魔可以n个天使，s个恶魔可以赢t个天使，那么+s个恶魔可以赢n+t个天使。
这一条称作叠加性原理注2，是整个推导过程的基础。
3、fn1+fn2+…+fn
由于n1个天使可以赢fn1个恶魔但是不能赢gn1个，将n1换成n2，n3，…，n等一样成立，由2立即可得：n1+n2+…+n个天使可以赢fn1+fn2+…+fn个恶魔但是不能赢gn1+gn2+…+gn个，由f和g的定义立即得出不等式成立。
4、plifnn存在。
证明需要用到数学分析的一些基础知识，若不感兴趣可以直接跳过。
由知只需证plignn存在。
首先gnn有界。在3中令n1n2…n1即得f1
，g12，故1
由于gnn有界，故下极限和上极限均存在，设为p和q，则有两个无穷子列{ni}
{j}使得gninip，gjjq，固定一个ni2，对于所有的j，将j写成如
下形式：
jujni+vj，uj0，0
由3易得gj
gjjujgni+tujgni+t
令j∞注意到j，uj∞即得qgnigni
由于ni是任取的，故上式对于所有的i都成立，令i∞得qp，从而上下极限相等，立知lignp，从而上下极限相等，立知lign
5、对于所有的n，fnn
在3中令n1n2…nn即得fn
fnnfnfn
再令∞由4得fnngngn
这个结论告诉我们可以用fnn来作为p的近似值。
同样如果p值已知，亦可以由pn1
6、p124795…。
令x1天使对恶魔的伤害1恶魔的hpy1恶魔对天使的伤害1天使的hp，则
x1+25+505020004y14251+50352500189
这里将恶魔的dg取为平均值35。
考虑n天使vsfn恶魔，这里是与n无关的待定参数。第一回合天使攻击，恶魔剩余bfnxn个，用来保证恶魔数量恰为整数，然后恶魔反击再攻击，
第一回合结束，天使剩余a{n2yfnxn}个，用来保证天使数量恰为整数（x，y，xy为整数即可）。由于n天使能赢fn恶魔，自然就有a个天使赢b个恶魔，于是bfabfabfafa
令n∞，注意到此时bnpxan12ypxa∞，从而
babnanpx{12ypx}faap
即有px{12ypx}
px{12ypx}p
故px{12ypx}p。约掉，得到
px12ypxp
解之，舍去负根，得
px+x2+2xy122124795…
这就是我们寻求的答案，说明大天使单挑实力超出大恶魔近248。
方程可以这样理解：p是一个使恶魔和天使双方实力均衡的数量比，先假设n个天使和个恶魔实力绝对均衡（那么pn），那么经过一个回合后这个均衡不会被打破，否则最后会有一方胜出从而说明双方实力不均衡；经过一回合后恶魔数量bxn天使数量an2yxn（亦不妨假定a，b都是整数否则可像上面一样同乘以），由于双方实力依然均衡，故：
bapn
化简即为式；可以看出，经过若干回合双方的实力会一直保持均衡，直到最后双方数量同时为0；但实际上因攻击有先后，必然有一方数量先变为0，这说明假设的双方实力绝对均衡是不可能的（由此亦可看出p不可能是有理数），但这时式仍然是成立的，因为由5我们可以用fnn来充分逼近p，